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2018年北京市朝阳区第一学期期中高三年级数学(文)试题及答案

发布时间:

北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期高三年级期中统一考试

数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2017.11

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | log2 x ? 1} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | x ? 2} D. {x | x ? 0}

? x ? 2, ? 2. 已知实数 x, y 满足条件 ? y ? 2, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 6, ?
A. 12 3.要得到函数 y ? sin(2 x ? A. 先向右*移 B. 10 C. 8 D. 6

π ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象上所有的点 3

π 个单位长度,再将横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 π B. 先向右*移 个单位长度,横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变 6 2 1 π C. 横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,再向右*移 个单位长度 6 2 π D. 横坐标变伸长原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右*移 个单位长度 3
4. 已知非零*面向量 a , b ,则“ a ? b ? a ? b ”是“存在非零实数 ? ,使 b = ? a ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5.已知 Sn 是等差数列 ?an ? ( n ? ? ①数列 ?an ? 中的最大项为 S10 ③ S10 ? 0 其中正确的序号是( )
?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )的前 n 项和,且 S5 ? S6 ? S4 ,以下有四个命题: ②数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ④ S11 ? 0

A. ②③

B. ②③④

C. ②④

D. ①③④

6. 如图, 在直角梯形 ABCD 中,AB // CD ,AD ? DC , E 是 CD 的中点 DC ? 1 , AB ? 2 , 则 EA ? AB ? A. 5 B. ? 5 C. 1 D. ?1

??? ? ??? ?

D

E

C



A

B

7. 袋子里有编号为 2,3,4,5,6 的五个球,某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两 球编号的和只告诉甲,其乘积只告诉乙,再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说:“我无法确定.” 乙说:“我也无法确定.” 甲听完乙的回答以后,甲说:“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A. 一定有 3 号球 B.一定没有 3 号球 C.可能有 5 号球 D.可能有 6 号球

8. 已知函数 f ( x) ? sin(cos x) ? x 与函数 g ( x) ? cos(sin x) ? x 在区间 (0, ) 都为减函数, 设 x1 , x2 , x3 ? (0, ) ,且 cos x1 ? x1 , sin(cos x2 ) ? x2 , cos(sin x3 ) ? x3 ,则 x1 , x2 , x3 的 大小关系是( A. x1 ? x2 ? x3 ) B. x3 ? x1 ? x2 C.

? 2

? 2

x2 ? x1 ? x3

D. x2 ? x3 ? x1

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图,则输出 i 的值为 开始 i=1,S=2 S=S+2i i=i+1
S>14? 是 否

.

输出 i 结束 (第 9 题图) 10. 已知 x ? 1 ,且 x ? y ? 1 ,则 x ?

1 的最小值是 y

.

1 ? 1 x ( ) , x? , ? 2 ? 2 11. 已知函数 f ( x ) ? ? 若 f ( x ) 的图象与直线 y ? kx 有两个不同的交点, 则 1 ?log 1 x , x ? . 2 ? ? 2
实数 k 的取值范围为 .

12. 已知函数 f ( x ) 同时满足以下条件: ① 定义域为 R ; ② 值域为 [0,1] ; ③ f ( x) ? f (? x) ? 0 . 试写出一个函数解析式 f ( x ) ? .

13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒,其表面积为定值 S. 若罐头盒的 底面半径为 r ,则罐头盒的体积 V 与 r 的函数关系式为 头盒的体积最大. ;当 r ? 时,罐

14. 将集合 M = ?1,2,3, ??????? 表示为它的 5 个三元子集(三元集:含三个元素的集合)的 并集,并且这些三元子集的元素之和都相等,则每个三元集的元素之和为 . (只写出一组) 出满足上述条件的集合 M 的 5 个三元子集 ;请写

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ( n ? ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn =log 1 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
2
?

),满足 Sn ? 2an ? 1 .

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ? cos( x ? ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ?[0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.

π 3

π 2

17. (本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中, A ? (Ⅰ)试求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,试求 △ ABC 的面积.

c 3 2 π , ? . 7 4 b

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a) ? e? x , a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ?( x) ,其中 f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函数.判断 g ( x ) 在定义域内是否为单 调函数,并说明理由.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ? ln x ? . x e ex

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)求证: ln x ? ?

1 ; ex

(Ⅲ)判断曲线 y ? f ( x) 是否位于 x 轴下方,并说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 数列 a1 , a2 ,?, an 是正整数 1, 2,?, n 的任一排列,且同时满足以下两个条件: ① a1 ? 1 ;②当 n ? 2 时, | ai ? ai ?1 |? 2 ( i ? 1, 2,?, n ? 1 ). 记这样的数列个数为 f (n) . (I)写出 f (2), f (3), f (4) 的值; (II)证明 f (2018) 不能被 4 整除.




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