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2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例教学案新人教A版选修1_1

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3.4 生活中的优化问题举例 第 1 课时 变化率问题、导数的概念 [核心必知] 1.预*教材,问题导入 根据以下提纲,预*教材 P101~P104 的内容,回答下列问题. 某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 ml 溶液的圆柱形易拉罐. (1)生产这种易拉罐,如何计算材料用的多少呢? 提示:计算出圆柱的表面积即可. (2)如何制作使用材料才能最省? 提示:要使用料最省,只需圆柱的表面积最小.可设圆柱的底面半径为 x,列出圆柱表 1 000 2 面积 S=2π x + (x>0),求 S 最小时,圆柱的半径、高即可. x 2.归纳总结,核心必记 (1)优化问题 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题, 这些问题通常称为优化问题. (2)解决优化问题的基本思路 [问题思考] 在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗? 提示:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点 对应最小值,极大值点对应最大值. [课前反思] (1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题? ; (2)解决优化问题的基本思路是什么? . 1 讲一讲 1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为 O,半 径为 100 m,并与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.点 A 为*朐不∩弦坏悖 A 作 l 的垂线,垂足为点 B.市园林局计划在△ABM 内进行绿化.设△ABM 的面积为 S(单位:m ), ∠AON=θ (单位:弧度). 2 (1)将 S 表示为 θ 的函数; (2)当绿化面积 S 最大时,试确定点 A 的位置,并求最大面积. [尝试解答] (1)BM=AOsin θ =100sin θ , AB=MO+AOcos θ =100+100cos θ ,θ ∈(0,π ). 1 1 则 S= MB·AB= ×100sin θ ×(100+100cos θ ) 2 2 =5 000(sin θ +sin θ cos θ ),θ ∈(0,π ). (2)S′=5 000(2cos θ +cos θ -1) =5 000(2cos θ -1)(cos θ +1).令 S′=0, 1 得 cos θ = 或 cos θ =-1(舍去), 2 π 此时 θ = . 3 当 θ 变化时,S′,S 的变化情况如下表: 2 π 2 所以,当 θ = 时,S 取得最大值 Smax=3 750 3 m ,此时 AB=150 m,即点 A 到北京 3 2 路一边 l 的距离为 150 m. (1)*面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相 关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值. (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际 相关的问题. 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式, 如果已知图形是由简 单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程. 练一练 1.请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图 中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角 三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值. 解:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm). 60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) +1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a h=2 2(-x +30x ),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. 2 3 2 2 3 2 h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2 讲一讲 2. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每 3 年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= k (0≤x 3x+5 ≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的 能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. [尝试解答] (1)由题设,隔热层厚度为 x cm,每年能源消耗费用为 C(x)= 再由 C(0)=8,得 k=40, 40 因此 C(x)= . 3x+5 而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 k , 3x+5 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× (2)f′(x)=6- 令 f′(x)=0, 即 2 400 2=6, (3x+5) 40 800 +6x= +6x(0≤x≤10). 3x+5 3x+5 2 400 2, (3x+5) 25 解得 x=5,x=- (舍去). 3 当 0≤x<5 时,f′(x)<0, 当 5<x≤10 时,f′(x)>0, 故 x=5 是 f(x)的最小值点, 800 对应的最小值为 f(5)=6×5+ =70. 15+5 所以,当隔热层修建 5 cm



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